5.04.2022 р.
Тема: Відстань від прямої до площини. Відстань між площинами
Вимірювання відстаней між різними фізичними 
об’єктами є одним із найпоширеніших видів матема 
тичної діяльності людини. Якщо розмірами об’єктів
можна знехтувати, то йдеться про вимірювання відстаней між точ ками, тобто про визначення довжин відрізків. В інших випадках мо делювання даних об’єктів за допомогою точок при вимірюванні від станей між ними недоцільне чи безглузде, наприклад, коли йдеться про вимірювання відстані між електролампою і столом (рис. 480), якщо першу можна ототожнювати з точкою, то для моделювання стола більш придатна площина чи її частина. Аналогічна ситуація виникає при визначенні відстані між фасадами будівель (рис. 481), що при математичному моделюванні зводиться до визначення від стані між паралельними площинами; при встановленні вертикаль ноїрейкинапевнійвідстанівідстіни(рис.482)(визначеннявідстані між паралельними прямою і площиною) тощо.
Розглянемо питання про вимірювання відстаней між найпро стішими фігурами у просторі. Зміст поняття відстані залишається таким самим, як і в планіметрії. Наприклад, відстань d від точки A до прямої a — це найкоротша відстань між цією точкою і точками прямої (рис. 483), a відстань між паралельними прямими а і b — це довжина d найкоротшого з відрізків, що сполучає точки цих прямих (рис. 484).
Такий самий зміст має і загальне поняття відстані між фігура- ми. Наприклад, вимірювання відстані d від пункту А до озера В (рис. 485), відстані d між озерами А і В (рис. 486) зводиться до ви- мірювання найкоротшого відрізка, який з’єднує точки цих фігур (точка теж є фігурою).
Узагальнення поняття відстані між фігурами у просторі не ви кликає труднощів.
Відстанню між фігурами називають довжину най коротшого з відрізків, який сполучає точки даних фігур.
Якщо фігури перетинаються, то будемо вважати, що відстань між ними дорівнює нулю. Це і зрозуміло, бо фігури в цілому «не віддалені» одна від одної. Для фігур, що не мають спільних точок, відстань між ними є однією з мір їхнього взаємного роз- міщення.
Зрозуміло, що задача знаходження відстаней між довіль- ними геометричними фігурами є надто загальною, а тому об- межимося детальним розглядом відстаней між найпростішими фігурами простору — точками, прямими, площинами. Як і в планіметрії, ці відстані реалізуються через довжини відповід- них перпендикулярів. Окрім того, до вказаних ситуацій частогусто зводиться задача про вимірювання відстаней між склад- нішими фігурами.
Теорема 1 (про відстань від точки до площини).
Відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної площини.
Ця властивість відстані від точки до пло- щини безпосередньо випливає з властивості похилих і перпендикулярів. Справді, пер- пендикуляр, проведений з точки до площи- ни, менший від похилих, проведених з тієї самої точки до точок площини (рис. 487).
Теорема 2 (про відстань між прямою і площиною).
Відстань між прямою і паралельною їй площиною дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з довільної точки прямої до даної площини.
Обґрунтування цієї властивості про від- стань між прямою і площиною спирається на властивості прямої, паралельної площині, і
теорему 1 про відстань від точки до площи- ни. Справді, відстань від кожної точки пря- мої до площини дорівнює довжині перпенди-
куляра, проведеного з даної точки до площини. Для точок прямої, паралельної площині, ці відстані є рівними (рис. 488).
Теорема 3 (про відстань між паралельними площинами).
Відстань між паралельними площинами дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з довільної точки однієї площини до другої площини.
Обґрунтування теореми 3 аналогічне обґрунтуванню теореми 2. Відмінність полягає лише в тому, що перпендикуляри прово дяться з усіх точок однієї площини до другої
(рис. 489).
Наведеними властивостями широко користуються у різних сферах діяльності людини, у побуті. Наприклад, за їхньою допомогою визначають відстані від літака до поверхні землі, від світильника до підлоги, від дроту лінії електропередач до поверхні землі, між стелею і підлогою тощо.
Коментарі
Дописати коментар