26.04.2022 р.

Тема: Координати середини відрізка

• 
  
  
  

Означення

  Середина відрізка - це точка, яка лежить на відрізку і знаходиться на однаковій відстані від кінцевих точок.

В геометричних задачах часто можна зіштовхнутися з необхідністю знайти середину відрізка заданого координатами точок його кінців, наприклад в задачах пошуку медіани, середньої лінії, тощо.

Кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат кінців відрізка.

Формули для обчислення середина відрізка

• Формула обрахунку координат середини відрізку з кінцями A(x_a, y_a) і B(x_b, y_b) на площині:
  
  

  xc =	xa + xb		yc =	ya + yb
  	2			2

• Формула обрахунку координат середини відрізка з кінцями A(x_a, y_a, z_a) і B(x_b, y_b, z_b) в просторі:
  
  

  xc =	xa + xb		yc =	ya + yb		zc =	za + zb
  	2			2			2

Приклади задач на обчислення середини відрізка

Приклади обчислення середини відрізка на площині

 

Приклад 1.

  Знайти координати точки С середини відрізка AB заданого точками A(-1, 3) і B(6, 5).

 

Розв'язок.

xc   =	xa   +   xb	=	-1 + 6	=	5	= 2.5
	2		2		2

yc   =	ya   +   yb	=	3 + 5	=	8	= 4
	2		2		2

Відповідь: С(2.5, 4).

 

Приклад 2.

  Знайти координати точки В, якщо відомі координати точки C(1; 5) - середини відрізка AB і точка A(-1, 3).

 

Розв'язок.

xc   =	xa   +   xb	=>    xb   = 2  xc   -   xa   = 2·1 - (-1) = 2 + 1 = 3
	2

yc   =	ya   +   yb	=>    yb   = 2  yc   -   ya   = 2·5 - 3 = 10 - 3 = 7
	2

Відповідь: B(3, 7).

Приклади обчислення середина відрізка в просторі

 

Приклад 3.

  Знайти координати точки С середини відрізка AB заданого точками A(-1, 3, 1) і B(6, 5, -3).

 

Розв'язок.

xc   =	xa   +   xb	=	-1 + 6	=	5	= 2.5
	2		2		2

yc   =	ya   +   yb	=	3 + 5	=	8	= 4
	2		2		2

zc   =	za   +   zb	=	1 + (-3)	=	-2	= -1
	2		2		2

Відповідь: С(2.5, 4, -1).

 

Приклад 4.

  Знайти координати точки В, якщо відомі координати точки C(1, 5, 2) - середини відрізка AB і точка A(-1, 3, 10).

 

Розв'язок.

xc   =	xa   +   xb	=>    xb   = 2  xc   -   xa   = 2·1 - (-1) = 2 + 1 = 3
	2

yc   =	ya   +   yb	=>    yb   = 2  yc   -   ya   = 2·5 - 3 = 10 - 3 = 7
	2

zc   =	za   +   zb	=>    zb   = 2  zc   -   za   = 2·2 - 10 = 4 - 10 = -6
	2

Відповідь: B(3, 7, -6).